Wiskunde als empirische wetenschap

De Duitse filosoof Immanuel Kant maakt een onderscheid tussen fysische en metafysische kennis. Metafysische kennis vat hij op als “aan gene zijde van de ervaring liggende kennis”.* Fysische kennis ligt kennelijk aan deze zijde van de ervaring. Maar dat betekent voor Kant nog niet dat de fysische werkelijkheid ook echt bestaat.

Goud is een geel metaal

Bij ervaring maakt Kant onderscheid tussen uiterlijke ervaring, de bron van de fysica, en innerlijke ervaring, die hij de grondslag van de empirische psychologie noemt. Op zich is dat een belangrijk onderscheid. Het duidt op het ook nu nog gehanteerde verschil tussen natuurwetenschappen en geesteswetenschappen. In de psychologie doet zich tegenwoordig het probleem voor dat men weliswaar over objectieve data beschikt, zoals hersenscans, maar dat men die objectieve data probeert te relateren aan subjectieve data zoals gemoedstoestand en beoordeling. In de kwantummechanica doet zich het merkwaardige feit voor dat waarneming de metingen beïnvloedt. Daarbij gaat het niet per se om menselijke waarneming, maar kan het ook gaan om waarneming via apparatuur. Maar voordat we in deze lastige discussie verzeild raken: Kant gaat het niet direct om kennis van dat wat (innerlijk of uiterlijk) wordt waargenomen, maar om de mogelijkheidsvoorwaarden van kennis. Hij ziet dat niet als een natuurkundig of psychologisch, maar als een filosofisch onderwerp.

Kennis a posteriori veronderstelt innerlijke of uiterlijke waarneming. Alle kennis a posteriori is dus empirische kennis. Kennis a priori ziet Kant als kennis uit zuiver verstand of zuivere rede. Toch kan ook a priori kennis empirisch zijn. Kant noemt als voorbeeld goud. Goud kennen we uit ervaring. Goud is dus een empirisch begrip. Om echter te weten dat goud een geel metaal is, benodigt verder geen ervaring buiten het begrip van goud om dat al inhield dat het geel en van metaal is. Het begrip goud hoeft dus alleen ontleed (geanalyseerd) te worden om erachter te komen dat het een geel metaal is. Kant noemt het oordeel dat goud een geel metaal is, daarom een analytisch oordeel a priori. Volgens Kant zijn alle analytische oordelen a priori. Dat heeft ermee van doen dat een analytisch oordeel niet tot vermeerdering van kennis leidt. Alle kennis is al in het begrip vertegenwoordigd.

Vijf plus zeven is twaalf

Naast analytische oordelen zijn er ook synthetische oordelen. Dat een oordeel synthetisch is, betekent dat het tot uitbreiding van kennis leidt. Als alle analytische oordelen a priori zijn, dan lijkt het voor de hand te liggen dat alle synthetische oordelen a posteriori zijn. Omdat a posteriori kennis altijd empirisch van aard is, zou dat zoveel betekenen dat alle vermeerdering van kennis, dus alle wetenschap empirisch is. Dat is evenwel niet de conclusie die Kant trekt. Volgens Kant bestaan er ook synthetische oordelen a priori. Als aanschouwelijk voorbeeld gebruikt Kant een eenvoudig sommetje:

“Op het eerste gezicht zou men wel haast denken dat de stelling 7 + 5 = 12 een uitsluitend analytische stelling is die uit het begrip van een som van 7 en 5 volgt (…). Maar bij nader inzien vindt men dat het begrip van de som van 7 en 5 niets meer inhoudt dan de vereniging van beide getallen in één enkel, waardoor helemaal niet gedacht wordt wat dat ene getal is dat beide samenvat. Het begrip 12 is nog geenszins gedacht, doordat ik alleen maar die vereniging van 7 en 5 denk en ik kan onmogelijk en ik kan mijn begrip van zo’n mogelijke som nog zo lang ontleden, toch zal ik daarin de twaalf niet aantreffen.”

Via het voorbeeld wil Kant duidelijk maken dat het bij wiskunde gaat om synthetische en niet om analytische stellingen. Daarmee wijkt hij af van de opvattingen van Gottfried Wilhelm Leibniz en David Hume die van mening waren dat wiskunde juist bestaat uit analytische stellingen. Voor dat laatste valt iets te zeggen als we bedenken dat wiskunde min of meer een gesloten systeem is waarbij het een uit het ander volgt. Heb je bijvoorbeeld bij meetkunde de axioma’s bepaald, dan volgt de rest daaruit. Ook algebra is te zien als een gesloten systeem waarin uit het een het ander volgt. Dat wil nog niet zeggen dat er in de wiskunde niets te ontdekken valt. Bij het schaakspel valt, zelfs (of misschien wel juist) voor de beste schakers nog iets te ontdekken, hoewel het schaakspel overduidelijk een gesloten systeem is.

Dat Kant er toch op staat dat wiskunde gebaseerd is op synthetische stellingen heeft ermee te maken dat hij, wat hij noemt, de aanschouwing verantwoordelijkheid voor de synthese. Als het er om gaat op te lossen hoeveel 7 + 5 is, zegt Kant:

“Men moet boven de begrippen uitgaan door zijn toevlucht te nemen tot de aanschouwing die met een van beide correspondeert, bij voorbeeld zijn vijf vingers of (…) vijf punten en zó geleidelijk de eenheden van de in de aanschouwing gegeven vijf toe te voegen aan het begrip van de zeven.”

Wat Kant hier doet, is uitleggen hoe een kind van 6 of 7 jaar leert rekenen. De basisvaardigheid die hieraan ten grondslag ligt, is tellen. Eerst kan het kind door te tellen vaststellen dat er een groep van 5 en een groep van 7 punten is. Vervolgens worden die twee groepen punten behandeld alsof het slechts één groep punten is. Als je dan het aantal punten van de ene groep telt, kom je op twaalf uit.

Meetkunde en algebra

Je zou hieruit de conclusie kunnen trekken dat wiskunde dus een empirische wetenschap is. Maar die conclusie wil Kant niet trekken. Volgens Kant is de zuivere wiskunde gebaseerd op zuivere aanschouwing. Zuiver staat hiervoor niet empirisch, voor a priori. De zuivere perceptie van ruimte zonder enige zintuiglijkheid vindt zijn uitdrukking in de meetkunde, die van de tijd in de rekenkunde. Rekenkunde of algebra maakt de zuivere aanschouwing van tijd mogelijk omdat getallen alleen mogelijk zijn door opeenvolging. In een formulering van neokantiaan Ernst Cassirer staat ruimte voor “das eine neben dem anderen”, en tijd voor “das eine nach dem anderen”. Je zou ook kunnen zeggen dat ruimte staat voor serieel en tijd voor sequentieel.

Hoewel ruimte en tijd buiten iedere ervaring om bestaan, zijn beide zijn toch ook als noodzakelijke voorwaarde voor elke ervaring. Het is niet nodig om onderscheid te maken tussen de zuivere aanschouwing van ruimte en tijd zoals die in de zuivere wiskunde plaatsvindt en de ruimte en tijd zoals wij die dagelijks ervaren, of zoals die wordt beschreven in de natuurkunde van Isaac Newton. Het is steeds dezelfde ruimte en tijd. Maar of die ruimte en tijd deel uitmaken van de werkelijkheid an sich, dat weten we volgens Kant niet. De werkelijkheid an sich, werkelijkheid zoals die los van onze waarneming bestaat, kunnen we volgens Kant niet kennen. Kant meent zelfs dat de natuurwetten van Newton, hoe precies die ook zijn, slechts beschrijven hoe de werkelijkheid aan ons verschijnt, niet zoals die werkelijk is. Daarmee schept Kant ruimte voor zoiets als alomtegenwoordigheid, een eigenschap die in de christelijke traditie aan God is voorbehouden. Kant behoudt zo ook ruimte voor het ingrijpen van God buiten de natuurwetten om. Juist door de werkelijkheid an sich als onkenbaar voor te stellen, creëert Kant daardoor ruimte voor, in zijn geval, het christelijk geloof.

Linker- en rechterhand

Maar, als we ervan uitgaan dat tijd en ruimte wel buiten onze ervaring bestaan, hoe zijn we dan in staat om ruimte en tijd te ervaren? De simpele versie van mijn antwoord is: omdat we deel uitmaken van de wereld kunnen we de wereld kennen. Niet alleen de wereld om ons heen bestaat uit ruimte en tijd. Wijzelf bestaan ook uit ruimte en tijd. Ons zenuwstelsel, bijvoorbeeld, functioneert als een tijdruimtelijk systeem. Daarbij is het ook nog eens zo dat het zenuwstelsel is ingedeeld in globaal twee min of meer symmetrische helften. Zoals er twee helften van het zenuwstelsel bestaan, zo bestaan er ook twee min of meer symmetrische helften van het lichaam, of van onderdelen van het lichaam. Kant gebruikt als voorbeeld de linker- en rechterhand, en het linker- en rechteroor.

“Wat kan er wel meer met mijn hand of mijn oor overeenkomen en er in alle opzichten meer gelijk aan zijn dan hun beeld in de spiegel? En toch kan ik een hand zoals men die in de spiegel ziet niet in de plaats van haar oerbeeld stellen, want wanneer het een rechterhand was, dan is die hand in de spiegel een linker en het beeld van het rechteroor is een linkeroor dat nooit de plaats van de eerste kan innemen. Nu zijn er hier geen innerlijke verschillen die enig verstand ook maar zou kunnen denken; en toch zijn de verschillen voor zover de zintuigen leren innerlijk, want ondanks alle wederzijdse gelijkheid en overeenkomst kan de linkerhand toch niet tussen dezelfde grenzen ingesloten zijn als de rechter (zij kunnen niet congrueren) en de handschoen van de ene hand kan niet worden gebruikt voor de andere. Wat is nu de oplossing?”

Dat ruimte (net als tijd) geen deel uitmaakt van de dingen die we kunnen ervaren, maar voorwaarde is voor de empirische aanschouwing. De zuivere aanschouwing is voorwaarde voor de empirische aanschouwing. Kantiaans gezegd: de zuivere aanschouwing is a priori aan de empirische aanschouwing. Het bestaan van een linker- en rechterhand en een linker- en rechteroor ziet Kant als bewijs voor zijn opvatting van ruimte en tijd. Zoals hij het ziet, spreekt hij daarmee het absolute ruimte- en tijdsbegrip van Newton niet tegen, maar plaatst hij het in een andere context. Wat bij Newton absoluut heet, wordt bij Kant zuiver. De hele natuurkunde van Newton blijft geldig, maar alleen bezien vanuit een ander filosofisch perspectief.

Ons goeddeels symmetrisch zenuwstelsel

Nu heb ik er best begrip voor dat iemand die niet vertrouwd is met de filosofie van Kant diens ruimte- en tijdsbegrip nogal obscuur vindt. Ook zelf heb ik moeite met de opvatting van Kant dat ruimte en tijd voorafgaan aan de zintuigelijke indrukken, maar daar geen deel van uitmaken. Ik vind de onwaarschijnlijkheid van Kants filosofie evenwel een interessante onwaarschijnlijkheid. Vanuit een meer evolutionaire denkwijze meen ik dat we onze mogelijkheid de werkelijkheid te kennen te verklaren is uit het feit dat we voortkomen en deel uitmaken van die werkelijkheid. Op ruimte en tijd betrokken betekent dit dat we tijd en ruimte kunnen ervaren omdat we tijd en ruimte zijn. En wellicht heeft Kant gelijk als hij zegt dat de symmetrische opbouw van ons lichaam iets zegt over onze ervaring van ruimte en tijd. Allereerst wil ik zeggen dat twee op dezelfde manier bewegende handen niet slechts ruimtelijk met elkaar overeenkomen, maar ook tijdruimtelijk. Dat geldt ook voor ons functionerend zenuwstelsel. Veel, niet alle, van de processen die plaatsvinden zullen symmetrisch plaatsvinden, des te meer als onze bewegingen ook symmetrisch zijn. Daarbij komt dat juist het zenuwstelsel in staat is congruentie tussen de linker- en rechterhelft van het zenuwstelsel tot stand te brengen, omdat dit immers van binnenuit, vanuit een functionerend zenuwstelsel kan gebeuren. Bedenk dat veel spirituele oefeningen en religieuze gebaren symmetrisch zijn. Als dan twee tijdruimtelijke, symmetrische, en daarom niet congruente structuren hun congruentie van binnenuit toch kunnen vaststellen, dan betekent dit dat dit een manier is om tijd en ruimte min of meer als een eenheid vast te stellen. Daarbij dient men zich te bedenken dat sinds Albert Einstein tijd en ruimte in de natuurkunde niet meer worden beschouwd als twee afzonderlijke entiteiten, maar als één samenhangende entiteit.

Concluderend

In zijn poging duidelijk te maken dat rekenen een kwestie van aanschouwing is, zet Kant een stap te veel en toont hij aan wat hij juist niet wil aantonen, namelijk dat rekenen, en dus wiskunde, gebaseerd is op empirische aanschouwing. Desalniettemin is de belangrijke verdienste van Kant in te zien dat mogelijkheid om ruimte en tijd waar te nemen niet zomaar gegeven is, maar dat we als mens daartoe uitgerust moeten zijn. Zoals ik het zie, is die uitrusting evenwel gebaseerd op een overeenkomst tussen ons kenvermogen en de wereld die gekend kan worden. Die overeenkomst behelst dat we met de tijdruimtelijke structuur van ons functionerend zenuwstelsel, in staat zijn de tijdruimtelijke structuur van de wereld om ons heen te kennen. Tijd en ruimte zijn dus niet alleen disposities van het kennende subject, maar ook van het gekende object. Daarbij doet zich de vraag voor in welke mate we tijd en ruimte kunnen kennen als tijdruimtelijke eenheid, zoals die in de relativiteitstheorieën van Einstein beschreven wordt. Hoewel mensen (en ook dieren) zich niet voor- en achteruit kunnen bewegen in de tijd, zoals dat in de ruimte wel het geval is, meen ik toch dat een zeker besef van de tijdruimtelijke eenheid toch mogelijk is. Een van de argumenten daarvoor voert terug naar het door Kant aangevoerde argument, dat wijst op de symmetrische, maar niet congruente opbouw van het menselijk lichaam. Dat die congruentie vanuit het werkzaam zenuwstelsel alsnog van binnenuit bereikt kan worden, zie ik als een voorwaarde om de eenheid van ruimte en tijd toch te kunnen ervaren.

Verder onderzoek naar symmetrie

Ik zie legio empirische onderzoeksmogelijkheden. Toevallig of niet ontdekte ik onlangs een oefening om het polyvagaal systeem te stimuleren. De oefening komt erop neer dat je al liggend een halve minuut naar links, en vervolgens een halve minuut naar rechts kijkt. Afzonderlijk zijn de oefeningen asymmetrisch, maar samen zijn ze symmetrisch. Doel is om via de ogen afzonderlijk het linker- en het rechterbrein te stimuleren, waardoor er meer evenwicht kan ontstaan. Je zou de oefening kunnen zien als een vertraagde toepassing van edmr kunnen zien. Van edmr is trouwens aangetoond dat het werkt, hoewel de meningen verschillen over hoe het werkt.

Het belang van symmetrie bij meer spirituele oefeningen (yoga, meditatie, mindfullness) en bij psychologische therapieën (emdr) kan verder onderzocht worden. Hoe zien therapeuten dat? Wat is het nadeel als oefeningen of therapieën niet symmetrisch worden uitgevoerd? Je kunt al beginnen met te onderzoeken hoe symmetrie bij fysiotherapie-oefeningen een rol speelt. Verder van huis kan ook gedacht worden aan antropologisch onderzoek bij culturen en religies over de hele wereld, waarbij de rol van symmetrie bij rituelen onderzocht wordt. Gezien de goeddeels symmetrische opbouw van het lichaam en het zenuwstelsel, lijkt het me een gemiste kans om de rol en het belang van die symmetrie in het menselijk functioneren niet verder te onderzoeken. Het betreft een dermate voor de hand liggend onderwerp voor onderzoek dat het al te gemakkelijk over het hoofd wordt gezien.

*Citaten van Kant zijn ontleend aan Nederlandse vertaling van diens Prolegomena.